每日一题[205] 连分数

2014年高中数学联赛福建省预赛第6题：

若分数$\dfrac{p}{q}$（$p$、$q$为正整数）化成小数为$\dfrac pq=0.198\cdots$，则当$q$取最小值时，$p+q=$_______．

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正确答案是$121$．

注意到

$$0.198=\dfrac{99}{500}=\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{19+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4}}}},$$ 于是取 $$\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{19+1}}=\dfrac {20}{101}$$ 可得满足条件的分数，于是$p+q=121$．

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注一    有关连分数的知识可以参考：

1、维基百科词条“continued fraction”；

2、人教社课本选修4-7《优选法与试验设计初步》；

3、百度词条“连分数”．

 

注二    连分数经常用来计算无理数的分数近似，如

$$\begin{split}\sqrt 2&=[1;2,2,2,2,2,\cdots ],\\\pi&=[3;7,15,1,292,1,\cdots ],\\{\rm e}&=[2;1,2,1,1,4,\cdots ].\end{split}$$ 于是可以得到一系列的近似值，比如 $$[1;2,2,2,2,2]=\dfrac{99}{70}\approx 1.41429,$$ 而$[3;7]=\dfrac{22}{7}$以及$[3;7,16]=\dfrac{355}{113}$则分别为著名的“疏率”和“密率”，而$[2;1,2,1,1,4]=\dfrac{87}{32}$则为${\rm e}$的一个常用近似值．