每日一题[199] 一一对应

2014年全国高中数学联赛吉林省预赛第5题:

若五项的数列\(\{a_n\}:a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)满足\(0\leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5\)且对任意的\(i,j\)(\(1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5\),均有\(a_j-a_i\)在该数列中.以下四个命题正确的有_______.

① \(a_1=0\);

② \(a_5=4a_2\);

③ \(\{a_n\}\)为等差数列;

④ 集合\(A=\left\{a_i+a_j\left|1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5\right.\right\}\)含\(9\)个元素.


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正确答案是①②③④.

 根据已知有\[0\leqslant a_5-a_5<a_5-a_4<a_5-a_3<a_5-a_2<a_5-a_1,\]而这五个数也在数列中,于是可得\[a_1=0,a_2+a_4=2a_3=a_5,\]进而\[a_3-a_2=a_2,\]于是数列\(\{a_n\}\)中的数分别为\[0,a_2,2a_2,3a_2,4a_2.\]不难据此推得命题①②③④均正确.

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