每日一题[193] 四面体的外接平行六面体

2014年全国高中数学联赛河北省预赛第5题：

在四面体\(ABCD\)中，\(AB=CD=5\)，\(AC=BD=\sqrt{34}\)，\(AD=BC=\sqrt{41}\)，则\(ABCD\)外接球的表面积是_______．

正确答案是\({50\pi}\)．

我们知道，任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，称这个平行六面体是四面体的外接平行六面体．

特别的，如果四面体的对棱分别相等，那么其外接平行六面体为长方体；如果四面体对棱分别垂直，那么其外接平行六面体的每个面均为菱形；正四面体的外接平行六面体为正方体．

在本题中，易得四面体\(ABCD\)的外接平行六面体为三维分别为\(3\)、\(4\)、\(5\)的长方体，其外接球亦为该长方体的外接球．于是外接球半径\(r\)为长方体对角线长的一半，外接球的表面积为\[4\pi r^2=\pi\cdot\left(3^2+4^2+5^2\right)=50\pi.\]