2014年全国高中数学联赛天津市预赛第12题：
函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases}x-3,&x\geqslant 1000,\\f\left(f(x+5)\right),&x<1000,\end{cases}\)，则\(f(84)\)的值是_______．
正确答案是\(997\)．
记\(f_1(x)=f(x)\)，\(f_{n+1}(x)=f(f_n(x))\)，\(n=1,2,\cdots\)，则\[\begin{split}f(84)&=f_2(89)=f_3(94)=\cdots=f_{184}(999)\\&=f_{185}(1004)=f_{184}(1001)=f_{183}(998)\\&=f_{184}(1003)=f_{183}(1000)=f_{182}(997)\\&=f_{183}(1002)=f_{182}(999),\end{split}\]注意到\(f_{184}{999}=f_{182}{999}\)，于是\(f(84)=f_2(999)\)．另一方面，注意到\(f_{184}(999)=f_{182}(997)\)，于是\(f_2(999)=997\)．