每日一题[187] 垂径定理与仿射变换

2015年高考浙江卷理科数学第19题（解析几何大题）：

已知椭圆\(\dfrac{x^2}{2}+y^2=1\)上有两个不同的点\(A\)、\(B\)关于直线\(y=mx+\dfrac 12\)对称．

（1）求实数\(m\)的取值范围；

（2）求三角形\(OAB\)面积的最大值（\(O\)为坐标原点）．

（1）解    如图，设线段\(AB\)的中点为\(M(x_0,y_0)\)，则由椭圆的“垂径定理可得\[\begin{cases}\dfrac{y_0-\frac 12}{x_0}=m,\\-\dfrac 1m\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-\dfrac 12,\end{cases}\]解得\[x_0=-\dfrac 1m,y_0=-\dfrac 12,\]结合条件\(\dfrac{x_0^2}2+y_0^2<1\)可得对\(m\)的约束\[\dfrac{1}{2m^2}+\dfrac 14<1,\]即\[m<-\dfrac{\sqrt 6}{3}\lor m>\dfrac{\sqrt 6}{3}.\]

（2）解    如图，作仿射变换\[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\]将椭圆变成半径为\(\sqrt 2\)的圆．

此时三角形\(OA'B'\)的边\(A'B'\)的中点\(M'\)在直线\(y=-\dfrac{\sqrt 2}2\)上运动，于是\[\begin{split}S_{\triangle OA'B'}&=\dfrac 12\cdot 2\sqrt{2-OM'^2}\cdot OM'\\&=OM'\cdot\sqrt{2-OM'^2}\\&=\sqrt{OM'^2\left(2-OM'^2\right)}\\&\leqslant 1,\end{split}\]等号当且仅当\(OM'=1\)时取得．

于是三角形\(OAB\)面积的最大值为\(\dfrac {\sqrt 2}{2}\)．

注    可参考2015年高考数学新课标II卷解析几何大题的解答．