2015年高考数学新课标II卷（理科）解析几何大题

2015年高考数学新课标II卷（理科）解析几何大题（第20题）：

已知椭圆\(C:9x^2+y^2=m^2(m>0)\)，直线\(l\)不过原点\(O\)且不平行于坐标轴，\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)、\(B\)，线段\(AB\)的中点为\(M\)．

（1）证明：直线\(OM\)的斜率与\(l\)的斜率的乘积为定值；

（2）若\(l\)过点\(\left(\dfrac m3,m\right)\)，延长线段\(OM\)与\(C\)交于点\(P\)，四边形\(OAPB\)能否为平行四边形？若能，求此时\(l\)的斜率；若不能，说明理由．

（1）证明    设\(A\left(x_1,y_1\right)\)，\(B\left(x_2,y_2\right)\)，则\[\begin{cases}9x_1^2+y_1^2=m^2,\\9x_2^2+y_2^2=m^2,\end{cases}\]两式相减得\[9\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)=0,\]即\[\dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}\cdot\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-9.\]事实上，等式左边即直线\(OM\)的斜率与直线\(l\)的斜率之积．因此原命题得证，且定值为\(-9\)．

（2）解    根据题意，如图． 假设存在符合题意的平行四边形\(OAPB\)，设\(M\left(x_0,y_0\right)\)，则\(P\left(2x_0,2y_0\right)\)，于是\[9x_0^2+y_0^2=\dfrac 14m^2.\] 此时根据第1小题的结论，有\[\dfrac{m-y_0}{\dfrac m3-x_0}\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-9,\]整理得\[3mx_0+my_0=9x_0^2+y_0^2=\dfrac 14m^2,\]即\[3x_0+y_0=\dfrac 14m.\] 由关于\(x_0,y_0\)的两个方程化齐次可以解得直线\(l\)的斜率为\[-9\cdot\dfrac{x_0}{y_0}=4\pm\sqrt 7.\]