每日一题[186] 规划问题

2015年高考浙江卷理科数学第14题：

若实数$x,y$满足$x^2+y^2\leqslant 1$，则$\left|2x+y-2\right|+\left|6-x-3y\right|$的最小值是_______．

---

正确答案是$3$．

由于$\left|x+3y\right|\leqslant \sqrt{10}\cdot\sqrt{x^2+y^2}<6$，于是原式等于

$$\left|2x+y-2\right|+6-x-3y=\begin{cases}x-2y+4,&2x+y-2\geqslant 0,\\-3x-4y+8,&2x+y-2<0.\end{cases}$$

直线$2x+y-2=0$将可行域$x^2+y^2\leqslant 1$分割为两个弓形，其中$A(1,0)$，$B\left(\dfrac 35,\dfrac 45\right)$．对两个弓形分别进行线性规划可得取值范围分别为$[3,5]$以及$(3,13]$，因此所求代数式的取值范围为$[3,13]$，最小值为$3$．

---

注    2015年8月7日补记代数变形的作法．

注意到

$$\begin{split}\left|2x+y-2\right|+\left|6-x-3y\right|&\geqslant \left|(2x+y-2)-(6-x-3y)\right|\\&=\left|3x+4y-8\right|\\&\geqslant 8-\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\&=3,\end{split}$$ 其中用到了柯西不等式，等号当$x=\dfrac 35$，$y=\dfrac 45$时可以取得．因此所求代数式的最小值为$3$．