每日一题[3659]三倍角公式

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #15

化简求值：$\dfrac{\tan 96^{\circ}-\tan 12^{\circ}\left(1+\dfrac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}{1+\tan 96^{\circ} \tan 12^{\circ}\left(1+\dfrac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}=$_____．

答案    $\dfrac{\sqrt 3}3$．

解析    联想两角差的正切公式，尝试统一为正切后化简：

$$\begin{split} \tan 12^{\circ}\left(1+\frac{1}{\sin 6^{\circ}}\right) & =\tan 12^\circ\cdot \dfrac{1+\sin6^\circ}{\sin 6^\circ}\\ &=\tan 12^\circ\cdot \dfrac{\frac{1-\cos96^\circ}{\sin96^\circ}}{\frac{\sin6^\circ}{\cos 6^\circ}}\\ &=\dfrac{\tan 12^\circ\tan 48^\circ}{\tan 6^\circ}\\ &=\dfrac{\tan12^\circ\tan 48^\circ\tan 72^\circ}{\tan 6^\circ\tan 54^\circ\tan 66^\circ}\cdot \dfrac{\tan 54^\circ\tan 66^\circ}{\tan 72^\circ}\\ &=^{[1]}\dfrac{\tan36^\circ}{\tan 18^\circ}\cdot \dfrac{\tan 54^\circ\tan 66^\circ}{\tan 72^\circ}\\ &=\tan 66^\circ,\end{split}$$ 所以 $$\frac{\tan 96^{\circ}-\tan 12^{\circ}\left(1+\frac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}{1+\tan 96^{\circ} \tan 12^{\circ}\left(1+\frac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}=\frac{\tan 96^{\circ}-\tan 66^{\circ}}{1+\tan 96^{\circ} \tan 66^{\circ}}=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

备注

$[1]$ 正切的三倍角公式 $\tan3\theta=\tan\theta\tan(60^\circ+\theta)\tan(60^\circ-\theta)$．