每日一题[3398]切线与法线

《每日一题[3398]切线与法线》有6条回应

1. Slums说：

   2024年6月1日 下午3:29

   为什么用切点弦表示出P处切线斜率之后，可以得知直线OQ的斜率为其倒数？这是用光学性质推得的吗？

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   • marpluto说：

     2024年6月6日 上午2:09

     应该是直线 $PQ$，由光学性质可知其与 $P$ 处切线垂直

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     • Slums说：

       2024年6月8日 下午12:15

       感谢解答！我反复看了还是不得其解，原来是解析打错了。

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2. marpluto说：

   2024年5月15日 上午12:56

   延长 $F_2Q$ 与 $PF_1$ 交于 $N$，如图．
   （图传不上来）
   由于 $O$ 为 $F_1F_2$ 中点且 $OQ\parallel PF_1$，于是 $NF_1=2|OQ|=2b$ 且 $Q$ 为 $NF_2$ 的中点，又 $PQ$ 平分 $\angle NPF_2$，从而 $|PN|=|PF_2|$，进而

   $$\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a,\\ |PF_1|-|PF_2|=2b,\end{cases}\iff\begin{cases}|PF_1|=a+b,\\ |PF_2|=a-b,\end{cases}$$ 又 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0$，因此 $$|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2\implies (a+b)^2+(a-b)^2=(2c)^2\implies e=\dfrac{\sqrt 6}3.$$

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3. marpluto说：

   2024年5月8日 上午4:47

   不妨设 $F_1$ 为椭圆的左焦点，过 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l$，作 $F_2$ 关于 $l$ 的对称点 $F_2'$，连接 $F_2F_2'$ 与 $l$ 交于 $M$，连接 $QM$，如图．
   （图传不上来）
   根据椭圆的光学性质，有 $PQ\perp PM$，$F_1,P,F_2'$ 共线，$O,Q,M$ 共线，且

   $$|OM|=\dfrac 12F_1F_2'=\dfrac 12(PF_1+PF_2)=a,$$ 于是 $|QM|=a-b$，容易证明两等腰直角三角形 $PMF_2,MPQ$ 全等，从而 $$|PF_2|=QM=a-b,$$ 进而 $|PF_1|=a+b$，而 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=0$，所以 $$|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2\implies (a+b)^2+(a-b)^2=(2c)^2\implies e=\dfrac{\sqrt 6}3.$$

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   • 意琦行说：

     2024年5月17日 下午5:15

     超赞！

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