每日一题[155] 数列的上下界估计

2015年高考浙江卷理科数学第20题（压轴题）：

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=\dfrac 12$且$a_{n+1}=a_n-a_n^2$（$n\in\mathcal N^*$）．

（1）证明：$1\leqslant \dfrac{a_n}{a_{n+1}}\leqslant 2$（$n\in\mathcal N^*$）；

（2）设数列$\left\{a_n^2\right\}$的前$n$项和为$S_n$，证明：$\dfrac{1}{2(n+2)}\leqslant\dfrac{S_n}{n}\leqslant \dfrac{1}{2(n+1)}$（$n\in\mathcal N^*$）．

（1）证明    注意到 $$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{1-a_n},$$ 于是只需要证明 $$0<a_n\leqslant \dfrac 12,$$ 下面通过数学归纳法证明该命题．

当$n=1$时，$a_1=\dfrac 12$命题显然成立；

假设当$n=k$，$k\in\mathcal N^*$时命题成立，则当$n=k+1$时，有 $$a_{n+1}=\dfrac 14-\left(\dfrac 12 -a_n\right)^2,$$ 显然有 $$0<a_{n+1}\leqslant \dfrac 12$$ 成立．

综上，原命题得证．

（2）证明    注意到 $$a_n^2=a_n-a_{n+1},$$ 于是累加得 $$S_n=a_1-a_{n+1}=\dfrac 12-a_{n+1},$$ 因此欲证明命题为 $$\frac{n}{2(n+2)}\leqslant \dfrac 12-a_{n+1}\leqslant \dfrac{n}{2(n+1)},$$ 整理得 $$\dfrac{1}{2n+2}\leqslant a_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+2},$$ 下面证明这个不等式．

根据已知，有 $$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{a_n}{a_{n+1}},$$ 由(1)知 $$1\leqslant\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}\leqslant 2,$$ 于是累加得 $$n\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_1}\leqslant 2n,$$ 整理即得 $$n+2\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}\leqslant 2n+2,$$ 因此原命题得证．

注    在本问题中，数列$\left\{a_n\right\}$单调递减趋于不动点$0$，而第二问需要估计数列$\left\{a_n\right\}$的上下界．常用方法基本是考虑 $$a_{n+1}-a_n,a_{n+1}^2-a_n^2,\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n},\cdots$$ 等差分数列的非零估计．