2015年高考浙江卷理科数学第20题（压轴题）：
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=\dfrac 12\)且\(a_{n+1}=a_n-a_n^2\)（\(n\in\mathcal N^*\)）．
（1）证明：\(1\leqslant \dfrac{a_n}{a_{n+1}}\leqslant 2\)（\(n\in\mathcal N^*\)）；
（2）设数列\(\left\{a_n^2\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，证明：\(\dfrac{1}{2(n+2)}\leqslant\dfrac{S_n}{n}\leqslant \dfrac{1}{2(n+1)}\)（\(n\in\mathcal N^*\)）．
（1）证明 注意到\[\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{1-a_n},\]于是只需要证明\[0<a_n\leqslant \dfrac 12,\]下面通过数学归纳法证明该命题．
当\(n=1\)时，\(a_1=\dfrac 12\)命题显然成立；
假设当\(n=k\)，\(k\in\mathcal N^*\)时命题成立，则当\(n=k+1\)时，有\[a_{n+1}=\dfrac 14-\left(\dfrac 12 -a_n\right)^2,\]显然有\[0<a_{n+1}\leqslant \dfrac 12\]成立．
综上，原命题得证．
（2）证明 注意到\[a_n^2=a_n-a_{n+1},\]于是累加得\[S_n=a_1-a_{n+1}=\dfrac 12-a_{n+1},\]因此欲证明命题为\[\frac{n}{2(n+2)}\leqslant \dfrac 12-a_{n+1}\leqslant \dfrac{n}{2(n+1)},\]整理得\[\dfrac{1}{2n+2}\leqslant a_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+2},\]下面证明这个不等式．
根据已知，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{a_n}{a_{n+1}},\]由(1)知\[1\leqslant\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}\leqslant 2,\]于是累加得\[n\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_1}\leqslant 2n,\]整理即得\[n+2\leqslant \dfrac{1}{a_{n+1}}\leqslant 2n+2,\]因此原命题得证．
注 在本问题中，数列\(\left\{a_n\right\}\)单调递减趋于不动点\(0\)，而第二问需要估计数列\(\left\{a_n\right\}\)的上下界．常用方法基本是考虑\[a_{n+1}-a_n,a_{n+1}^2-a_n^2,\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n},\cdots\]等差分数列的非零估计．