每日一题[156] 空间向量的几何意义

2015年高考数学浙江理科第15题(填空压轴题):

已知\({\vec e_1}\),\(\vec e_2\)是空间单位向量,\({\vec e_1}\cdot {\vec e_2}=\dfrac 12\).若空间向量\(\vec b\)满足\({\vec b}\cdot{\vec e_1}=2\),\({\vec b}\cdot{\vec e_2}=\dfrac 52\),且对于任意\(x,y\in\mathcal R\),\(\left|{\vec b}-\left(x{\vec e_1}+y{\vec e_2}\right)\right|\geqslant \left|{\vec b}-\left(x_0{\vec e_1}+y_0{\vec e_2}\right)\right|=1\)(\(x_0,y_0\in\mathcal R\)),则\(x_0=\)_______,\(y_0=\)_______,\(\left|\vec b\right|=\)_______.


cover正确答案是\(1,2,2\sqrt2\).

QQ20150617-1@2x

如图,\(\langle \vec e_1,\vec e_2\rangle=\dfrac\pi 3\).在向量\({\vec e_1}\),\(\vec e_2\)所在的两条射线上分别取\(OM=2\),\(ON=\dfrac 52\),分别过点\(M\)、\(N\)作与射线\(OM\)、\(ON\)垂直的平面,则向量\(\vec b\)的终点\(Q\)在这两个平面的交线上.记此交线与平面\(MON\)的交点为\(P\).

根据题意,向量\(x\vec e_1+y\vec e_2\)的终点\(R\)可以取遍整个平面\(MON\),此时\[|QR|=\left|\vec b-\left(x\vec e_1+y\vec e_2\right)\right|,\]其最小值为\(|QP|\),且\(|QP|=1\).
QQ20150617-2@2x

此时分析平面\(MON\),可以得到\(\overrightarrow{OP}=\vec e_1+2\vec e_2\),于是\(x_0=1\),\(y_0=2\).而\[\left|\vec b\right|^2=|OP|^2+|QP|^2=8,\]因此\(\left|\vec b\right|=2\sqrt 2\).

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