每日一题[2753]冻结变量

设 $a,b,c$ 是三角形 $ABC$ 的三边长，且 $a+b+c=1$，则 $a^2+b^2+c^2+4abc$ 的取值范围是_______．

答案    $\left[\dfrac{13}{27},\dfrac 12\right)$．

解析    根据题意，设题中代数式为 $m$，则

$$m=(a+b)^2+c^2+2ab(2c-1)=(1-c)^2+c^2+2ab(2c-1)=2c^2-2c+1-2ab(1-2c),$$ 而 $1-2c=a+b-c>0$，而 $$0<ab\leqslant \left(\dfrac{a+b}2\right)^2=\dfrac{(1-c)^2}4,$$ 左侧当 $(a,b,c)\to (0,1-c,c),(1-c,0,c)$ 时取等号，右侧当 $(a,b,c)\to \left(\dfrac{1-c}2,\dfrac{1-c}2,c\right)$ 时取等号，因此 $$2c^2-2c+1-2\cdot \dfrac{(1-c)^2}4\cdot (1-2c)\leqslant m<2c^2-2c+1,$$ 即 $$\dfrac{13}{27}\leqslant \dfrac{1-c\cdot c\cdot (1-2c)}{2}=c^3-\dfrac 12c^2+\dfrac 12\leqslant m<2\left(c-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 12=\dfrac 12,$$ 因此 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{13}{27},\dfrac 12\right)$，当 $(a,b,c)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13,\dfrac 13\right)$ 时取得最小值；当 $(a,b,c)\to \left(0,\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 时取得上确界．