每日一题[2707]团团圆圆

平面上凸四边形 $A B C D$ 满足 $A B=1$，$B C=2$，$C D=3$，$D A=4$，则该四边形 $A B C D$ 面积的最大值为（       ）

A．$4 \sqrt{2}$

B．$3 \sqrt{3}$

C．$2 \sqrt{6}$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    连接 $BD$，在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 分别应用余弦定理，可得 $$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A=CB^2+CD^2-2\cdot CB\cdot CD\cdot \cos C,$$ 于是 $$BD^2=17-8\cos A=13-12\cos C,$$ 进而 $$2\cos A-3\cos C=1.$$ 记平面四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$，则 $$S=\dfrac 12\cdot AB\cdot AD\cdot \sin A+\dfrac 12\cdot BC\cdot CD\cdot \sin C,$$ 即 $$S=2\sin A+3\sin C,$$ 因此 $$S^2+1^2=13-12\cos (A+C)\leqslant 25,$$ 等号当$A+C=\pi$，也即$A,B,C,D$四点共圆时取得，因此$S$的最大值为$2\sqrt{6}$．