每日一题[2706]迭代升级

设 $f(x)=x^{2}+2 x+2$,定义 $f^{(1)}(x)=f(x)$,对 $n \geqslant 1$,定义 $f^{(n+1)}(x)=f\left(f^{(n)}(x)\right)$,则方程 $f^{(2021)}(x)=0$ 所有复根的算术平均值为(       )

A.$-1$

B.$-2$

C.$-2022$

D.前三个答案都不对

答案    A.

解析    将 $2^n$ 次多项式 $f(x)$ 按 $x$ 的降幂排列,则\[f^{(n)}(x)=x^{2^n}+2^n\cdot x^{2^n-1}+\cdots,\]用数学归纳法证明如下.当 $n=1$ 时,命题显然成立;在 $n+1$ 时,有\[\begin{split} f^{(n+1)}(x)&=\left(x^2+2x+2\right)^{2^n}+2^n\cdot \left(x^2+2x+2\right)^{2^n-1}+\cdots\\ &=x^{2^{n+1}}+\dbinom{2^n}1\cdot 2\cdot x^{2^{n+1}-1}+\cdots\\ &=x^{2^{n+1}}+2^{n+1}\cdot x^{2^{n+1}-1}+\cdots,\end{split}\] 这样根据韦达定理可得方程 $f^{(2021)}(x)=0$ 所有 $2^{n}$ 个复根的算术平均值为 $-1$.

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