每日一题[2707]团团圆圆

平面上凸四边形 $A B C D$ 满足 $A B=1$,$B C=2$,$C D=3$,$D A=4$,则该四边形 $A B C D$ 面积的最大值为(       )

A.$4 \sqrt{2}$

B.$3 \sqrt{3}$

C.$2 \sqrt{6}$

D.前三个答案都不对

答案    C.

解析    连接 $BD$,在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 分别应用余弦定理,可得\[BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos A=CB^2+CD^2-2\cdot CB\cdot CD\cdot \cos C,\]于是\[BD^2=17-8\cos A=13-12\cos C,\]进而\[2\cos A-3\cos C=1.\]记平面四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$,则\[S=\dfrac 12\cdot AB\cdot AD\cdot \sin A+\dfrac 12\cdot BC\cdot CD\cdot \sin C,\]即\[S=2\sin A+3\sin C,\]因此\[S^2+1^2=13-12\cos (A+C)\leqslant 25,\]等号当$A+C=\pi$,也即$A,B,C,D$四点共圆时取得,因此$S$的最大值为$2\sqrt{6}$.

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