每日一题[2706]迭代升级

设 $f(x)=x^{2}+2 x+2$，定义 $f^{(1)}(x)=f(x)$，对 $n \geqslant 1$，定义 $f^{(n+1)}(x)=f\left(f^{(n)}(x)\right)$，则方程 $f^{(2021)}(x)=0$ 所有复根的算术平均值为（       ）

A．$-1$

B．$-2$

C．$-2022$

D．前三个答案都不对

答案    A．

解析    将 $2^n$ 次多项式 $f(x)$ 按 $x$ 的降幂排列，则 $$f^{(n)}(x)=x^{2^n}+2^n\cdot x^{2^n-1}+\cdots,$$ 用数学归纳法证明如下．当 $n=1$ 时，命题显然成立；在 $n+1$ 时，有 $$\begin{split} f^{(n+1)}(x)&=\left(x^2+2x+2\right)^{2^n}+2^n\cdot \left(x^2+2x+2\right)^{2^n-1}+\cdots\\ &=x^{2^{n+1}}+\dbinom{2^n}1\cdot 2\cdot x^{2^{n+1}-1}+\cdots\\ &=x^{2^{n+1}}+2^{n+1}\cdot x^{2^{n+1}-1}+\cdots,\end{split}$$ 这样根据韦达定理可得方程 $f^{(2021)}(x)=0$ 所有 $2^{n}$ 个复根的算术平均值为 $-1$．