每日一题[2705]差量与配方

设正整数 $a, b, c$ 满足 $a \geqslant b \geqslant c$ 和 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=25$,则 $a+b+c$ 的最小值是(       )

A.$7$

B.$8$

C.$9$

D.前三个答案都不对

答案    $B$.

解析    根据题意,有\[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=50,\]设 $b=c+m$,$a=b+n$,$m,n\in\mathbb N$,则\[m^2+n^2+(m+n)^2=50,\]该不定方程的解 $(m,n)=(0,5),(5,0)$,因此\[(a,b,c)=(c+5,c,c),(c+5,c+5,0),\]因此 $a+b+c\geqslant 3c+5\geqslant 8$,等号当 $(a,b,c)=(6,1,1)$ 时取得,所以所求最小值为 $8$.

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