每日一题[2700]直击要害

已知函数 $f(x)=x \ln x-{\rm e}^{x}-m x$（$m \in \mathbb{R}$）．

1、若 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x-{\rm e} y=0$ 垂直，求 $\varphi(x)=f(x)+{\rm e}^{x}$ 的极值．

2、若 $F(x)=f(x)+x^{2}$ 在 $[1,2]$ 上单调递减，求证：$m>0$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=1+\ln x-{\rm e}^x-m,$$ 而 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x-{\rm e} y=0$ 垂直，于是 $$f'(1)=-{\rm e}\iff m=1.$$ 此时 $\varphi(x)$ 的导函数 $$\varphi'(x)=\ln x,$$ 因此 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 时取得极小值 $$\varphi(1)=f(1)+{\rm e}=-1,$$ 没有极大值．

2、函数 $F(x)$ 的导函数

$$F'(x)=\ln x-{\rm e}^x-m+1+2x,$$ 于是 $$\forall x\in [1,2],\ln x-{\rm e}^x-m+1+2x\leqslant 0,$$ 即 $$\forall x\in [1,2],m\geqslant \ln x-{\rm e}^x+2x+1,$$ 设右侧函数为 $g(x)$，则 $$m\geqslant g(1)=3-{\rm e}>0,$$ 命题得证．