每日一题[2700]直击要害

已知函数 $f(x)=x \ln x-{\rm e}^{x}-m x$($m \in \mathbb{R}$).

1、若 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x-{\rm e} y=0$ 垂直,求 $\varphi(x)=f(x)+{\rm e}^{x}$ 的极值.

2、若 $F(x)=f(x)+x^{2}$ 在 $[1,2]$ 上单调递减,求证:$m>0$.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1+\ln x-{\rm e}^x-m,\]而 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x-{\rm e} y=0$ 垂直,于是\[f'(1)=-{\rm e}\iff m=1.\]此时 $\varphi(x)$ 的导函数\[\varphi'(x)=\ln x,\]因此 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,在 $(1,+\infty)$ 上单调递增,在 $x=1$ 时取得极小值\[\varphi(1)=f(1)+{\rm e}=-1,\]没有极大值.

2、函数 $F(x)$ 的导函数\[F'(x)=\ln x-{\rm e}^x-m+1+2x,\]于是\[\forall x\in [1,2],\ln x-{\rm e}^x-m+1+2x\leqslant 0,\]即\[\forall x\in [1,2],m\geqslant \ln x-{\rm e}^x+2x+1,\]设右侧函数为 $g(x)$,则\[m\geqslant g(1)=3-{\rm e}>0,\]命题得证.

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