每日一题[2701]两边夹

设 $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 是无穷实数序列,则如下断言正确的有(       )

A.如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$,那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$

B.如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$,那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不一定存在

C.如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=0$,那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$

D.如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=0$,那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不一定存在

答案    BC.

解析    选项 $\boxed{A}$ 的反例为 $a_n=1$($n\in\mathbb N^{\ast}$);

选项 $\boxed{B}$ 的实例为 $a_n=n$($n\in\mathbb N^{\ast}$);

选项 $\boxed{C}$ 的证明:若 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在,设为 $A$,则\[\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}a_{n+1}-\dfrac 12\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}a_n=A-\dfrac 12A=\dfrac 12A,\]于是 $A=0$.若 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不存在,则\[\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\frac12\right)\right)\implies \displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac 12,\]因此存在 $N$,使得当 $n>N$ 时,有\[\dfrac 13<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<\dfrac 23,\]这样就有\[a_N\cdot \left(\dfrac 13\right)^m<a_{N+m}<a_N\cdot \left(\dfrac 23\right)^m,\]从而 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$,矛盾,选项 $\boxed{C}$ 正确,选项 $\boxed{D}$ 错误.

综上所述,断言 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确.

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每日一题[2701]两边夹》有2条回应

  1. BobYue说:

    $B$ 的实例 应该是 $\ln n$ 吧……

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