每日一题[2699]转移位置

如图,在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,棱 $A A_{1} \perp A B C D$,且底面 $A B C D$ 为菱形,$A A_{1}=\dfrac{5}{2}$,$A B=2$,$\angle B A D=60^{\circ}$,$P$ 为 $B C$ 中点,$M$ 在棱 $A A_{1}$ 上,$Q$ 在四边形 $A B C D$ 内部及边界运动(不与 $P$ 重合),且 $P Q \perp A A_{1} C_{1} C$,异面直线 $P Q$ 与 $B_{1} M$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$,则 $M Q$ 的取值范围为_______.

答案    $\left[\sqrt 7,\dfrac{\sqrt{29}}{2}\right]$.

解析    取 $CD$ 的中点 $H$,连接 $PH$,则 $Q$ 在线段 $PH$ 上(不包含端点 $P$),连接 $B_1D_1$,有 $PQ\parallel B_1D_1$,于是 $|\cos\angle D_1B_1M|=\dfrac{\sqrt 2}4$.

设 $|A_1M|=x$,则\[|B_1M|=|D_1M|=\sqrt{x^2+4},\]因此\[|\cos\angle D_1B_1M|=\dfrac{\dfrac 12|B_1D_1|}{|B_1M|}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}},\]解得 $x=2$,进而\[|MQ|^2=|AQ|^2+|AM|^2=\left(|PQ|-\dfrac 12\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt 3}2\right)^2+\left(\dfrac 12\right)^2=\left(|PQ|-\dfrac 12\right)^2+7,\]而 $|PQ|$ 的取值范围是 $\left(0,1\right]$,因此 $|MQ|$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 7,\dfrac{\sqrt{29}}{2}\right]$.

 

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