每日一题[2698]双剑合璧

已知奇函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，且 $f(-9)=-\dfrac{1}{5}$，若 $g(x)=\dfrac{|x|-1}{|x|+1}+f(|x|)$，则满足 $g\left(m^{3}+\dfrac{1}{2} m\right)<1$ 的实数 $m$ 的取值范围为（       ）

A．$(-\infty,-2)$

B．$(-2,2)$

C．$(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$

D．$(-2,+\infty)$

答案    B．

解析    注意到函数 $y=\dfrac{|x|-1}{|x|+1}$ 是在 $[0,+\infty)$ 上单调递增的偶函数，于是 $g(x)$ 也是在 $[0,+\infty)$ 上单调递增的偶函数，而

$$g(-9)=g(9)=\dfrac 45+\dfrac 14=1,$$ 因此 $$g\left(m^{3}+\dfrac{1}{2} m\right)<1\iff -9<m^3+\dfrac 12m<9,$$ 设函数 $r(x)=x^3+\dfrac12x$，则 $r(x)$ 是在 $\mathbb R$ 上单调递增的奇函数，且 $r(2)=9$，$r(-2)=-9$，因此所求实数 $m$ 的取值范围是 $(-2,2)$．