每日一题[2698]双剑合璧

已知奇函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增,且 $f(-9)=-\dfrac{1}{5}$,若 $g(x)=\dfrac{|x|-1}{|x|+1}+f(|x|)$,则满足 $g\left(m^{3}+\dfrac{1}{2} m\right)<1$ 的实数 $m$ 的取值范围为(       )

A.$(-\infty,-2)$

B.$(-2,2)$

C.$(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$

D.$(-2,+\infty)$

答案    B.

解析    注意到函数 $y=\dfrac{|x|-1}{|x|+1}$ 是在 $[0,+\infty)$ 上单调递增的偶函数,于是 $g(x)$ 也是在 $[0,+\infty)$ 上单调递增的偶函数,而\[g(-9)=g(9)=\dfrac 45+\dfrac 14=1,\]因此\[g\left(m^{3}+\dfrac{1}{2} m\right)<1\iff -9<m^3+\dfrac 12m<9,\]设函数 $r(x)=x^3+\dfrac12x$,则 $r(x)$ 是在 $\mathbb R$ 上单调递增的奇函数,且 $r(2)=9$,$r(-2)=-9$,因此所求实数 $m$ 的取值范围是 $(-2,2)$.

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