每日一题[2697]构造状态量

已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^{2} \mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x>0,\end{cases}$ 若 $f(x)=f(y)$($x \neq y$),则下列结论可能成立的是(       )

A.$x+y<-4$

B.$x+y=0$

C.$x+y>\dfrac{2}{\mathrm{e}}$

D.$x+y=2$

答案    ABC.

解析    根据题意,有\[f'(x)=\begin{cases} x(x+2){\rm e}^x,&x< 0,\\ 1+\ln x,&x>0,\end{cases}\]进而可得\[\begin{array}{c|ccccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,-2)&-2&(-2,0)&0&\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)&\dfrac{1}{\rm e}&\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)&+\infty \\ \hline f(x)&0&\nearrow&\dfrac{4}{{\rm e}^2}&\searrow&0&\searrow&-\dfrac{1}{\rm e}&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}\]设 $f(x)=f(y)=t$($x<y$),则

对于 $\boxed{A}$,当 $t\to 0+$ 时,$x+y\to -\infty$,于是 $x+y<-4$ 可能成立;

对于 $\boxed{B}$,当 $t= 0$ 时,$x=0$,$y=1$,于是 $x+y>\dfrac{2}{\rm e}$ 可能成立;

对于 $\boxed{C}$,考虑当 $t$ 从 $0$ 变化到 $\dfrac{4}{{\rm e}^2}$ 的过程,此时 $x$ 从 $0$ 变化到 $-2$,$y$ 从 $1$ 变化到 $m$,其中\[m\ln m=\dfrac{4}{{\rm e}^2},\]有 $m<2$,从而 $x+y$ 可以取得 $0+1$ 到 $-2+m$ 中的所有值,其中包括 $0$,因此 $x+y=0$ 可能成立;

对于 $\boxed{D}$,若 $x+y=2$,由于当 $x\geqslant 0$ 时,$t\in\left(-\dfrac{1}{\rm e},0\right]$,于是 $x,y\in [0,1]$,从而 $x+y<2$;而当 $x<0$ 时,有 $y>2$,此时\[t=y\ln y>2\ln 2>1>\dfrac{4}{{\rm e}^2},\]因此不存在 $x<0$ 使得 $f(x)=t$,因此 $x+y=2$ 不可能成立;

综上所述,选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确.

 

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[2697]构造状态量》有一条回应

  1. Avatar photo yuanhongyi说:

    B和C的解析好像错位了

发表回复