每日一题[2510]整点个数

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(2-x)=f(2+x)$，且当 $x \in[0,2]$ 时，有 $$f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{x}-1,&0 \leqslant x \leqslant 1, \\ x^{2}-4 x+4,&1<x \leqslant 2 .\end{cases}$$ 若关于 $x$ 的不等式 $m|x| \leqslant f(x)$ 的整数解有且仅有 $9$ 个，则实数 $m$ 的取值范围为（       ）

A．$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$

B．$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$

C．$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$

D．$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$

答案    C．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 关于 $y$ 轴和 $x=2$ 对称，因此函数 $f(x)$ 以 $4$ 为周期，如图．

注意到 $y=m|x|$，$y=f(x)$ 都是偶函数，且都过原点，因此题意即 $y=f(x)$ 的图象在直线 $y=mx$ 的图象上方的部分对应的横坐标中包含 $4$ 个正整数．进而可得实数 $m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$．