每日一题[2509]进阶放缩

已知函数 $f(x)=\ln \dfrac{\mathrm{e} x}{2}-a x$，$g(x)=\dfrac{x-4 a}{x}$．

1、求函数 $f(x)$ 的极值点．

2、当 $a>0$ 时，函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 恰有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{1-ax}x,$$ 因此当 $a\leqslant 0$ 时，没有极值点；当 $a>0$ 时，有极大值点 $x=\dfrac 1a$．

2、根据题意，有 $$h(x)=\ln\dfrac{x}2-a\left(x-\dfrac 4x\right),$$ 因此问题即函数 $$r(x)=\ln x-2a\left(x-\dfrac 1x\right)$$ 有 $3$ 个零点．注意到 $r(1)=0$，函数 $r(x)$ 的导函数 $$r'(x)=\dfrac 1x-2a\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{-2a(x-1)^2+1-4a}{x^2},$$ 因此当 $a\geqslant \dfrac 14$ 时，$r(x)$ 为单调递减函数，不可能有 $3$ 个零点． 当 $a\in\left(0,\dfrac 14\right)$ 时，$r'(x)$ 在 $x=1$ 左右两侧各有一个零点，记为 $x_1,x_2$ 且 $0<x_1<1<x_2$． 一方面，有 $$r(x)=\ln x-2ax+\dfrac{2a}x>\ln x-\dfrac 12+\dfrac{2a}x>2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)-\dfrac 12+\dfrac{2a}x>\dfrac{2}{\sqrt x}\cdot \left(-1+\dfrac{a}{\sqrt x}\right),$$ 因此取 $x_3=\min\left\{a^2,\dfrac{x_1}2\right\}$ 即得到 $x=x_1$ 左侧的 $x_3$ 处满足 $f(x_3)>0$． 另一方面，有 $$r(x)=\ln x-2ax+\dfrac{2a}{x}<2\left(\sqrt x-1\right)-2ax+\dfrac{1}{2x}=2\sqrt x\left(1-a\sqrt x\right)+\left(\dfrac 1{2x}-2\right),$$ 因此取 $x_4=\max\left\{\dfrac1{a^2},\dfrac 14,2x_2\right\}$ 即得到 $x=x_2$ 右侧的 $x_4$ 处满足 $f(x_4)<0$． 这样就有 $$\begin{array}{c|ccccccccc}\hline x&0+&(0,x_1)&x_1&(x_1,1)&1&(1,x_2)&x_2&(x_2,+\infty)&+\infty\\ \hline r(x)&+\infty&\searrow&\text{极小值}&\nearrow&0&\nearrow&\text{极 大值}&\searrow&-\infty\\ \hline \end{array}$$ 因此 $r(x)$ 有 $3$ 个不同的零点，符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 14\right)$．

备注    本质即对数函数 $y=\ln x$ 的双曲线拟合 $y=\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$，如图．