每日一题[2434]不定方程

如果一个十位数 $F$ 的各位数字之和为 $81$，则称 $F$ 是一个“好数”，则好数的个数为（       ）

A．$48618$

B．$48619$

C．$48620$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    设好数 $F=\overline{x_1x_2\cdots x_{10}}$，$x_1\ne 0$，$x_i\in\{0,1,\cdots,9\}$（$i=1,2,\cdots 10$）则

$$x_1+x_2+\cdots +x_{10}=81,$$ 设 $y_i=9-a_i$，则 $y_1\ne 9$，$y_i\in\{0,1,\cdots,9\}$，且 $$y_1+y_2+\cdots+y_{10}=9,$$ 考虑 $y_i$ 的非负整数解的个数，去掉 $y_1=9$ 的一组解，所求个数为 $$\dbinom {18}9-1=48619.$$