每日一题[2393]增量代换

已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，则 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ 的最大值是（       ）

A．$\dfrac{\sqrt 3}{24}$

B．$\dfrac{\sqrt 3}{18}$

C．$\dfrac{\sqrt 3}{15}$

D．$\dfrac{\sqrt 3}{12}$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$m=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=(a-b)(a-c)(b-c),$$ 考虑到 $a,b,c$ 的轮换性，不妨设 $a$ 是 $a,b,c$ 中的最大数．由于题目要求 $m$ 的最大值，因此只需考虑 $b\geqslant c$ 的情形，设 $b=c+x$，$a=b+y$，且 $x,y\geqslant 0$，则 $$a+b+c=1\iff 3c+2x+y=1\implies 3c=1-2x-y\geqslant 0\implies y\leqslant 1-2x,$$ 且 $$m=xy(x+y)\leqslant x(1-2x)(1-x)=2x^3-3x^2+x,$$ 其中 $x\in \left[0,\dfrac 12\right]$．设右侧函数为 $f(x)$（$x\in\left[0,\dfrac 12\right]$，则其导函数 $$f'(x)=6x^2-6x+1,$$ 于是当 $x=\dfrac 12-\dfrac{\sqrt 3}6$ 时函数 $f(x)$ 取得最大值，为 $\dfrac{\sqrt 3}{18}$．

备注    考虑

$$2x^3-3x^2+x=(6x^2-6x+1)\left(\dfrac 13x-\dfrac16\right)+\dfrac{1-2x}6,$$ 可以更快由最大值点的值计算最大值．