每日一题[2252]套娃函数

某同学研究函数 $f(x)=\cos (\sin x)$ 时，因为该函数长相奇特，亲切的称之为套娃函数，且定义 $f(x)$ 为一次套娃函数，$f(f(x))$ 为二次套娃函数，$\underbrace{f(\cdots f(x))}_{n \text{ 个 }f}$ 为 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次套娃函数，那么下列说法正确的是（       ）

A．对于一次套娃函数，当 $x=\dfrac{\pi}2+k\pi$（$k\in\mathbb Z$）时取得最小值「

B．对于 $n$ 次套娃函数，其一定存在最大值

C．对于 $n$ 次套娃函数，其最小正周期一定为 $\pi$

D．对于 $m+1$（$m\in \mathbb N^{\ast}$）次套娃函数，该函数的值域必然为 $m$ 次套娃函数的真子集

答案    ABCD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，由于 $\sin x$ 的取值范围是 $[-1,1]$，而当 $x\in [-1,1]$ 时，函数 $y=\cos x$ 在 $x=\pm 1$ 时取得最小值，因此对于一次套娃函数，当 $x=\dfrac{\pi}2+k\pi$（$k\in\mathbb Z$）时取得最小值． 对于选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$，考虑到函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，且 $x=0$ 为其对称轴，因此 $\pi$ 为 $n$ 次套娃函数的周期，$x=k\pi$（$k\in\mathbb Z$）为 $n$ 次套娃函数的对称轴．因而只需要考虑函数在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上的表现，容易知道 $n$ 次套娃函数在该区间（记为 $D$）上的单调性为：$n$ 为奇数时单调递减，$n$ 为偶数时单调递增．从而对于 $n$ 次套娃函数 $f_n(x)=\underbrace{f(\cdots f(x))}_{n \text{ 个 }f}$，其存在最大值

$$\begin{cases} f_n(0),&2\nmid n,\\ f_n\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\mid n.\end{cases}$$ 且利用单调性和对称性可知，对于 $n$ 次套娃函数，其最小正周期一定为 $\pi$． 对于选项 $\boxed{D}$，我们可以证明 $$\begin{cases} f_{m+1}\left(\dfrac{\pi}2\right)<f_m\left(0\right),f_{m+1}\left(0\right)>f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\nmid n,\\ f_{m+1}\left(\dfrac{\pi}2\right)>f_m\left(0\right),f_{m+1}\left(0\right)<f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\mid n,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} f_{m}\left(f\left(\dfrac{\pi}2\right)\right)<f_m\left(0\right),f_{m}\left(f\left(0\right)\right)>f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\nmid n,\\ f_{m}\left(f\left(\dfrac{\pi}2\right)\right)>f_m\left(0\right),f_{m}\left(f\left(0\right)\right)<f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\mid n,\end{cases}$$ 考虑到随着 $m$ 不同，函数 $f_m(x)$ 的单调性表现，只需要 $$f\left(\dfrac{\pi}2\right)>0,\quad f(0)<\dfrac{\pi}2,$$ 这显然成立，命题得证． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确．