每日一题[2237]四三二一大法

已知直线 $B C$ 垂直单位圆 $O$ 所在的平面，且直线 $B C$ 交单位圆于点 $A$，$A B=B C=1$，$P$ 为单位圆上除 $A$ 外的任意一点，$l$ 为过点 $P$ 的单位圆 $O$ 的切线，则（       ）

A．有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

B．有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

C．有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

D．有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

答案    D．

解析    以单位圆的圆心 $O$ 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 $A(-1,0,0)$，$B(-1,0,1)$，$C(-1,0,2)$，$P(\cos\theta,\sin\theta,0)$，则直线 $l$ 的方向向量

$$\overrightarrow l=(\sin\theta,-\cos\theta,0),$$ 而 $$\overrightarrow{BP}=(\cos\theta+1,\sin\theta,-1),\quad \overrightarrow {PC}=(-1-\cos\theta,-\sin\theta,2),$$ 因此 $$\begin{cases} \overrightarrow n_{Bl}=\left(-\cos\theta,-\sin\theta,-1-\cos\theta\right),\\ \overrightarrow n_{lC}=\left(-2\cos\theta,-2\sin\theta,-1-\cos\theta\right),\end{cases}$$ 因此二面角 $B-l-C$ 的余弦 $$\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow n_{Bl}\cdot \overrightarrow n_{lC}}{\left|\overrightarrow n_{Bl}\right|\cdot \left|\overrightarrow n_{lC}\right|}=\dfrac{2+(1+\cos\theta)^2}{\sqrt{1+(1+\cos\theta)^2}\cdot \sqrt{2^2+(1+\cos\theta)^2}},$$ 令 $t=(1+\cos\theta)^2$，则 $$\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{t^2+4t+4}{t^2+5t+4}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{t+\dfrac 4t+5}}\geqslant \dfrac{2\sqrt 2}3,$$ 因此 $\varphi$ 的最大值为 $\arccos\dfrac{2\sqrt 2}3$，当且仅当 $t=2$，即 $\cos\theta=\sqrt 2-1$ 时取得，此时对应的点有 $2$ 个．