每日一题[2208]六道轮回

已知 $\theta>0$，若存在实数 $\varphi$，使得对于任意正整数 $n$，都有 $\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\theta$ 的最小值是_______．

答案    $\dfrac{2\pi}5$．

解析    

考虑角 $x=n\theta+\varphi$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的终边位置构成的集合．

情形一     $2\pi$ 是 $\theta$ 的正整数倍，设 $2\pi=k\theta$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），则角 $x$ 的终边位置为 $\varphi+m\cdot \theta$，其中 $m=0,\cdots,k-1$，这些位置将单位圆 $k$ 等分．考虑到 $\cos x<\dfrac{\sqrt 3}2$ 等价于 $x$ 的终边落不在区间 $\left[-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right]$，区间长度为 $\dfrac{\pi}3$，因此 $k\leqslant 5$，且当 $\varphi$ 的终边位于区间 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{7\pi}{30}\right)$ 时符合题意．此时 $\theta$ 的最小值为 $\dfrac{2\pi}5$．

情形二     $2\pi$ 不是 $\theta$ 的正整数倍．为了求 $\theta$ 的最小值，只考虑 $\theta\in \left(0,\dfrac{2\pi}5\right)$ 的情形．设 $2\pi=m\cdot \theta+r$，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $|r|<\dfrac{\pi}5$．取 $n=m\cdot t$，其中 $t\in\mathbb N^{\ast}$，则

$$n\theta+\varphi=t(2\pi-r)+\varphi=2t\pi+\varphi-tr,$$ 由于 $|r|<\dfrac{\pi}5$，因此必然存在 $t\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $\varphi-tr$ 的终边落在任意一个长度大于 $\dfrac{\pi}5$ 的的区间上，例如 $\left[-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right]$，此时不符合题意．

综上所述，$\theta$ 的最小值为 $\dfrac{2\pi}5$．