每日一题[2207]合并同类”项“

如图,$6$ 个正方形构成的图形中,外围三个正方形的面积分别为 $72,73,85$,则内侧三个正方形围成的三角形面积为_______.

答案    $11$.

解析    如图,设 $\triangle ABC$ 的三边分别为 $a,b,c$,则注意到 $\angle CAB$ 与 $\angle FAE$ 互补,$\angle ABC$ 与 $\triangle DBI$ 互补,$\angle BCA$ 与 $\angle GCH$ 互补.

在 $\triangle AEF,\triangle BDI,\triangle CHG$ 中应用余弦定理,有\[\begin{cases} b^2+c^2+2bc\cos A=p,\\ c^2+a^2+2ca\cos B=q,\\ a^2+b^2+2ab\cos C=r,\end{cases}\]其中 $p=EF^2$,$q=DI^2$,$r=GH^2$.在 $\triangle ABC$ 中应用余弦定理,代入上述方程组,可得\[\begin{cases} 2b^2+2c^2-a^2=p,\\ 2c^2+2a^2-b^2=q,\\ 2a^2+2b^2-c^2=r,\end{cases} \implies a^2+b^2+c^2=\dfrac 13(p+q+r),\]于是\[(a^2,b^2,c^2)=\left(\dfrac {-p+2q+2r}9,\dfrac{2p-q+2r}9,\dfrac{2p+2q-r}9\right),\]应用海伦公式,可得三角形 $ABC$ 的面积\[\begin{split} [ABC]&=\dfrac14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-(a^4+b^4+c^4)}\\ &=\dfrac{1}{12}\sqrt{2pq+2qr+2rp-(p^2+q^2+r^2)},\end{split}\]将 $p=72$,$q=85$,$r=73$ 代入,即得 $[ABC]=11$.

解法二

过 $G,H$ 分别作 $FE,DI$ 的平行线,并交于点 $Q$,连接 $QC,QD,QE$,如图.

由于 $GQ$ 与 $FE$,$GC$ 与 $FA$ 均平行且相等,因此 $CQ$ 与 $AE$ 也平行且相等.而 $QE,GF,CA$ 平行且相等.在平移变换 $\overrightarrow {QC}$ 下,有\[ \triangle FAE\to \triangle GCQ,\quad \triangle BDI\to \triangle CQH,\quad \triangle QED\to \triangle CAB,\]而\[[ABC]=\dfrac 12\sin \angle CAB\cdot AB\cdot AC=\dfrac 12\sin\angle EAF\cdot AE\cdot AF=[AEF],\]同理,有\[[ABC]=[BDI]=[CGH],\]因此\[[QGH]=[CQG]+[CGH]+[CHQ]=3[ABC],\]也即 $\triangle ABC$ 的面积是以三个正方形的边长为边长的三角形面积的 $\dfrac 13$,进而可以求得三角形 $ABC$ 面积为 $11$.

注意到 $72=6^2+6^2$,$73=3^2+8^3$,$85^2=2^2+9^2$,因此可以构造以下矩形求出以 $\sqrt{72},\sqrt{73},\sqrt{85}$ 为边长的三角形面积,为\[8\cdot 9-\dfrac 12(6\cdot 6+2\cdot 9+3\cdot 8)=11.\]

 

 

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论