已知 $ABCDEF$ 是各内角相等的六边形，$AB=6$，$BC=8$，$CD=10$，$DE=12$．设 $d$ 是包含于该六边形的最大的圆的直径，则 $d^2=$ _______．
答案 $147$．
解析 延长 $FA,CB$ 交于点 $P$，延长 $FE,CD$ 交于点 $Q$，则平行四边形 $PCQF$ 中，$PC=QF=14$，$PF=CQ=22$．由于 $CD$ 与 $FA$ 的距离为\[(8+6)\cdot \dfrac{\sqrt 3}2=7\sqrt 3,\]于是 $d\leqslant 7\sqrt 3$．
如图，$\angle CDE$ 的角平分线与 $AF$ 交于点 $G$，取 $DG$ 的中点为圆心作直径为 $7\sqrt 3$ 的圆，则圆心到 $DE$ 的距离为 $\dfrac{7\sqrt 3}2$，到 $AB,BC,EF$ 的距离都大于 $\dfrac{7\sqrt 3}2$，因此 $d=7\sqrt 3$，从而 $d^2=147$．