每日一题[2168]三星连珠

关于 $x$ 的三次方程 $x^{3} - 15x^{2} + kx - 1105=0$ 的三个复根在复平面上的对应点共线，求正整数 $k$ 的值．

答案    $271$．

解析    三次方程有三个实根或者一个实根两个互相共轭的复数．

情形一    三次方程有三个实根．此时

$$k=-x^2+15x+\dfrac{1105}x,$$ 当 $x<0$ 时，右侧为负实数；当 $x>0$ 时，右侧单调递减，因此不存在正整数 $k$，使得该方程有三个实根．

情形二    三次方程有一个实根和两个互相共轭的复数．由于这三个复根在复平面上的对应点共线，因此这三个复数形如 $x,x+y{\rm i},x-{\rm i}$，根据韦达定理，有

$$\begin{cases} x+(x+y{\rm i})+(x-y{\rm i})=15,\\ x(x+y{\rm i})+(x+y{\rm i})(x-y{\rm i})+(x-y{\rm i})x=k,\\ x(x+y{\rm i})(x-y{\rm i})=1105,\end{cases}\iff \begin{cases} x=5,\\ y=\pm 16,\\ k=271.\end{cases}$$

综上所述，正整数 $k$ 的值为 $271$．