每日一题[2144]韦达定理

实数 $a, b$ 满足二次函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$，$g(x)=x^{2}+b x+a$ 都有两个不同实根，并且它们的积 $f(x) \cdot g(x)$ 恰有三个不同实根，则下列说法正确的有（       ）

A．$f(x) \cdot g(x)$ 的三个不同实根之和与 $a, b$ 相关

B．$f(x) \cdot g(x)$ 的三个不同实根之和等于 $\dfrac{1}{2}$

C．$f(x)+g(x)$ 的两个实根之和（计重数）与 $a, b$ 相关

D．$f(x)+g(x)$ 的两个实根之和（计重数 $)$ 等于 $\dfrac{1}{2}$

答案    D．

解析    设 $f(x)$ 的实根为 $x_1,x_2$，$g(x)$ 的实根为 $x_2,x_3$，且 $x_1,x_2,x_3$ 两两不等，则

$$\begin{cases} x_1+x_2=-x_2x_3=-a,\\ -x_1x_2=x_2+x_3=-b,\end{cases}$$ 从而 $$(x_1+x_2)-(x_2+x_3)=(-x_2x_3)-(-x_1x_2)\iff (x_1-x_3)(1-x_2)=0\iff x_2=1,$$ 于是 $(x_1,x_2,x_3)=(-a-1,1,-b-1)$，进而可得 $$\begin{cases} b+1=-a,\\ a+1=-b,\end{cases}\iff a+b=-1,$$ 于是 $$x_1+x_2+x_3=-a-b-1=0,$$ 选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{B}$ 错误． 又 $f(x)+g(x)=x^2+(a+b)x+(a+b)=2x^2-x-1$，于是其两实根之和为 $\dfrac 12$，从而选项 $\boxed{C}$ 错误，选项 $\boxed{D}$ 正确．