每日一题[2131]暗藏玄机

设实数 $a,b,c$ 满足 $a,b,c\geqslant 1$ 且 $ab\sqrt{c-1}+ac\sqrt{b-1}+bc\sqrt{a-1}=\dfrac 32abc$，则 $a,b,c$ 之间的大小关系是（       ）

A．$a>b>c$

B．$a=b=c$

C．$a<b<c$

D．不能比较大小

答案    B．

解析    题中等式可以变形为

$$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}+\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}=\dfrac 32,$$ 而 $\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac 14-\left(\dfrac 1c-\dfrac 12\right)^2}\leqslant \dfrac 12$，所以只能有 $$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}=\dfrac 12,$$ 解得 $a=b=c=2$．