每日一题[2128]考虑最值

已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，任取 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$，$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，$a_i+a_j\in A$，$a_j+a_k\in A$，$a_i+a_k\in A$ 中至少有一个成立，则 $n$ 的最大值为（       ）

A．$3$

B．$5$

C．$7$

D．$9$

答案    C．

解析    不妨设 $a_1>a_2>\cdots>a_n$，若集合 $A$ 中的正数个数不小于 $4$，取 $(i,j,k)=(1,2,3)$，可得 $a_2+a_3=a_1$，取 $(i,j,k)=(1,2,4)$，可得 $a_2+a_4=a_1$，因此 $a_3=a_4$，矛盾．因此集合 $A$ 的正数至多有 $3$ 个，同理，集合 $A$ 中的负数至多有 $3$ 个．又考虑 $$A=\{3,2,1,0,-1,-2,-3\}$$ 符合题意，因此 $n$ 的最大值为 $7$．