每日一题[2033]上下无界

设函数 $f(x,y,z)=\dfrac x{x+y}+\dfrac y{y+z}+\dfrac z{z+x}$，其中 $x,y,z$ 均为正实数，则有（       ）

A．$f$ 既有最大值也有最小值

B．$f$ 有最大值但没有最小值

C．$f$ 没有最大值但有最小值

D．前三个答案都不对

答案    D．

解析  一方面，有

$$\sum_{\rm cyc}\dfrac x{x+y}>\sum_{\rm cyc}\dfrac x{x+y+z}=1,$$ 又 $$\sum_{\rm cyc}\left(1-\dfrac z{x+y}\right)<3-\sum_{\rm cyc}\dfrac{z}{x+y+z}=2,$$ 因此 $$1<f(x,y,z)<2.$$ 另一方面，有 $$f(x,1,0^+)\to\dfrac{x}{x+1}+1=2-\dfrac{1}{x+1},$$ 因此当 $x\to 0$ 以及 $x\to +\infty$ 时，有 $f(x,1,0^+)\to 1$ 以及 $f(x,1,0^+)\to 2$，因此 $f$ 既没有最大值，也没有最小值．