每日一题[2027]等差数列

设 $x,y,z$ 均不为 $\left(k+\dfrac 12\right)\pi$，其中 $k$ 为整数．已知 $\sin (y+z-x),\sin(z+x-y),\sin(x+y-z)$ 成等差数列，则依然成等差数列的是（       ）

A．$\sin x,\sin y,\sin z$

B．$\cos x,cos y,\cos z$

C．$\tan x,\tan y,\tan z$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    根据题意，有 $$\sin(z+x-y)-\sin(y+z-x)=\sin(x+y-z)-\sin(z+x-y),$$ 根据和差化积公式，可得 $$2\cos z\sin(x-y)=2\cos x\sin (y-z),$$ 由和差角公式可得 $$\sin x\cos y\cos z-\cos x\sin y\cos z=\cos x\sin y\cos z-\cos x\cos y\sin z,$$ 两边同除以$\cos x\cos y\cos z$，可得 $$\tan x -\tan y=\tan y-\tan z,$$ 因此$\tan x,\tan y,\tan z$成等差数列．