每日一题[2023]敲钟

某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每 $4$ 秒敲响一声，乙钟每 $5$ 秒敲响一声，丙钟每 $6$ 秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到 $365$ 声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别为 $x,y,z$，则 $x+y+z=$ （       ）．

答案    $484$．

解析    设敲钟持续的时间为 $60k$ 秒，则在此期间，甲、乙、丙钟敲响的次数（即 $x,y,z$）分别为 $15k+1,12k+1,10k+1$，其中甲、乙钟同时敲响的次数为 $3k+1$，乙、丙钟同时敲响的次数为 $5k+1$，丙、甲钟同时敲响的次数为 $2k+1$，甲、乙、丙同时敲响的次数为 $k+1$．根据容斥原理，可得

$$(15k+1)+(12k+1)+(10k+1)-(3k+1)-(5k+1)-(2k+1)+(k+1)=365\iff k=13,$$ 因此 $$x+y+z=(15k+1)+(12k+1)+(10k+1)=37k+3=484.$$