每日一题[2023]敲钟

某寺院有甲、乙、丙三口铜钟.甲钟每 $4$ 秒敲响一声,乙钟每 $5$ 秒敲响一声,丙钟每 $6$ 秒敲响一声.新年到来时,三口钟同时敲响并且同时停敲,某人共听到 $365$ 声钟响.若在此期间,甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别为 $x,y,z$,则 $x+y+z=$ (       ).

答案    $484$.

解析    设敲钟持续的时间为 $60k$ 秒,则在此期间,甲、乙、丙钟敲响的次数(即 $x,y,z$)分别为 $15k+1,12k+1,10k+1$,其中甲、乙钟同时敲响的次数为 $3k+1$,乙、丙钟同时敲响的次数为 $5k+1$,丙、甲钟同时敲响的次数为 $2k+1$,甲、乙、丙同时敲响的次数为 $k+1$.根据容斥原理,可得\[(15k+1)+(12k+1)+(10k+1)-(3k+1)-(5k+1)-(2k+1)+(k+1)=365\iff k=13,\]因此\[x+y+z=(15k+1)+(12k+1)+(10k+1)=37k+3=484.\]

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