每日一题[2018]消元策略

已知互不相等的四个实数 $a,b,c,d$ 满足

$$a+\dfrac 1b=b+\dfrac 1c=c+\dfrac 1d=d+\dfrac 1a=x,$$ 求 $x$ 的所有可能的值．

答案    $\pm \sqrt 2$．

解析    题中有 $a,b,c,d,x$ 共 $5$ 个未知数，给出了 $4$ 个方程．因此我们可以采用消元的策略，得到关于 $x$ 和另外一个未知数（不妨取 $a$）的等式后求解．依次消元，根据条件有

$$\begin{split}d&=x-\dfrac 1a,\\c&=x-\dfrac 1d=\dfrac{ax^2-x-a}{ax-1},\\b&=x-\dfrac 1c=\dfrac{ax^3-x^2-2ax+1}{ax^2-x-a},\\a&=x-\dfrac 1b=\dfrac{ax^4-x^3-3ax^2+2x+a}{ax^3-x^2-2ax+1},\end{split}$$ 整理得 $$x\left(x^2-2\right)\left(a^2-xa+1\right)=0,$$ 于是 $$x=0\lor x=\pm\sqrt 2\lor x=a+\dfrac 1a.$$ 经验证，只有 $x=\pm\sqrt 2$ 符合题意． 接下来进行检验：

情形一     $x=0$．此时 $a=-\dfrac 1b=c$，与题意不符；

情形二     $x=\pm \sqrt 2$．当 $(a,b,c,d)=(1,\sqrt 2+1,-1,\sqrt 2-1)$ 时，$x=\sqrt 2$；而当 $(a,b,c,d)=(-1,-\sqrt 2-1,1,-\sqrt 2+1)$ 时，$x=-\sqrt 2$，符合题意．

情形三     $x=a+\dfrac 1a$．此时 $a=b$，与题意不符．

综上所述，$x$ 的所有可能的值为 $\pm \sqrt 2$．