每日一题[2004]奇偶分流

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^na_n=3n-1$，前 $16$ 项和为 $540$，则 $a_1=$_______．

答案    $7$．

解析    在题中等式中分别取 $n=2,6,10,14$，可得 $$\begin{cases} a_2+a_4=5,\\ a_6+a_8=17,\\ a_{10}+a_{12}=29,\\ a_{14}+a_{16}=41,\end{cases}\implies a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}+a_{14}+a_{16}=92.$$ 令 $n=2k-1$，可得 $$a_{2k+1}=a_{2k-1}+6k-4\implies a_{2k+1}=a_1+3k^2-k,$$ 因此 $$a_1+a_3+\cdot+a_{15}=8a_1+\sum_{k=1}^7(3k^2-k)=8a_1+392,$$ 从而 $$540=92+(8a_1+392)\iff a_1=7.$$