每日一题[2001]折叠

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 的平面展开图中，$AC=1$，$AB=AD=\sqrt 3$，$AB\perp AC$，$AB\perp AD$，$\angle CAE=30^\circ$，则 $\cos\angle FCB=$_______．

答案    $-\dfrac 14$．

解析    在直角 $\triangle CAB$ 中可得 $BC=2$，在直角 $\triangle ABD$ 中可得 $BD=\sqrt 6$，由展开图的生成方式可得

$$\begin{cases} AE=AD=\sqrt 3,\\ BF=BD=\sqrt 6,\end{cases}$$ 在 $\triangle ACE$ 中，可得 $CE=1$，于是 $CF=CE=1$，因此在 $\triangle BCF$ 中，应用余弦定理可得 $$\cos\angle FCB=\dfrac{CB^2+CF^2-BF^2}{2\cdot CB\cdot CF}=-\dfrac14.$$