每日一题[2000]主导地位

若 $2^a+{\log_2}a=4^b+2{\log_4}b$，则[[nn]]

A．$a>2b$

B．$a<2b$

C．$a>b^2$

D．$a<b^2$

答案    B．

解析    根据题意，有\[2^a+{\log_2}a=2^{2b}+{\log_2}b,\]若 $a\geqslant 2b$，则\[LHS\geqslant 2^{2b}+{\log_2}{2b}=2^{2b}+{\log_2}b+1>RHS,\]不符合题意，因此 $a<2b$．

备注    事实上，有 $b<a<2b$．考虑到当 $a,b$ 很大时，指数函数部分处于主导地位，当 $a,b$ 很小时，对数函数部分处于主导地位，因此当 $b\to +\infty$ 时，$a\to 2b$；当 $b\to 0$ 时，$a\to b$．这样就否定了选项 $\boxed{C}$ 和 $\boxed{D}$．

挑战    联想 $f(x)=x+\dfrac 1x$（$x>0$）当 $x$ 很大和很小时的图象，尝试画出函数 $g(x)=2^x+{\log_2}x$ 的草图．