若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-34 x+34 k-1=0$ 至少有一个正整数根，求满足条件的正整数 $k$ 的值．
答案 $k=1$．
解析 设方程的两个根为 $x_{1}, x_{2}$，且 $x_{1}$ 为正整数，则\[\begin{cases} x_{1}+x_{2}=34, \\ x_{1} x_{2}=34 k-1,\end{cases}\]由 $x_{1}+x_{2}=34$ 知 $x_{2}=34-x_{1}$，于是 $x_{2}$ 也是整数．由 $k$ 为正整数及 $x_{1} x_{2}=34 k-1$ 可知 $x_{2}>0$，于是 $ x_{2}$ 是正整数．注意到\[\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)=x_{1} x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=34(k+1),\]所以 $17 \mid \left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)$，进而 $17 \mid \left(x_{1}+1\right)$ 或 $17 \mid \left(x_{2}+1\right)$．若 $17 \mid \left(x_{1}+1\right)$，则由 $x_{1}+1 \leqslant x_{1}+x_{2}=34$ 知；$x_{1}+1=17$ 或 $x_{1}+1=34$． 当 $x_{1}+1=17$ 时，$x_{1}=16$，$x_{2}=18$，此时 $34 k-1=16 \times 18$，$k$ 无整数解； 当 $x_{1}+1=34$ 时，$x_{1}=33$，$x_{2}=1$，此时 $34 k-1=33 \times 1$，解得 $k=1$． 若 $17 \mid \left(x_{2}+1\right)$，同样可得 $k=1$． 所以满足条件的正整数 $k=1$．