若关于 x 的方程 x2−34x+34k−1=0 至少有一个正整数根，求满足条件的正整数 k 的值．
答案 k=1．
解析 设方程的两个根为 x1,x2，且 x1 为正整数，则{x1+x2=34,x1x2=34k−1,
由 x1+x2=34 知 x2=34−x1，于是 x2 也是整数．由 k 为正整数及 x1x2=34k−1 可知 x2>0，于是 x2 是正整数．注意到(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=34(k+1),
所以 17∣(x1+1)(x2+1)，进而 17∣(x1+1) 或 17∣(x2+1)．若 17∣(x1+1)，则由 x1+1⩽x1+x2=34 知；x1+1=17 或 x1+1=34． 当 x1+1=17 时，x1=16，x2=18，此时 34k−1=16×18，k 无整数解； 当 x1+1=34 时，x1=33，x2=1，此时 34k−1=33×1，解得 k=1． 若 17∣(x2+1)，同样可得 k=1． 所以满足条件的正整数 k=1．