每日一题[1993]轮换式计算之一

已知 $a+b+c=5$，$a^2+b^2+c^2=15$，$a^3+b^3+c^3=47$．求

$$M=(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$$ 的值．

答案    $625$．

解析    由已知得

$$ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=5,$$ 由恒等式 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ 得 $$47-3abc=5\times(15-5),$$ 所以 $abc=1$，又 $$a^2+ab+b^2=(a+b+c)(a+b)-(ab+bc+ca)=5(5-c)-5=5(4-c),$$ 同理可得 $$\begin{cases} b^2+bc+c^2=5(4-a),\\ c^2+ca+a^2=5(4-b),\end{cases}$$ 根据三次方程的韦达定理，$a,b,c$ 是关于 $t$ 的方程 $$t^3-5t^2+5t-1=0$$ 的三个实根，因此 $$M=5^3(4-a)(4-b)(4-c)=125\left(t^3-5t^2+5t-1\right)\big|_{t=4}=625.$$