每日一题[1989]镜

已知锐角三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\omega$，垂心为 $H$，设 $\triangle HBC$ 的外接圆在 $H$ 处的切线交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $HA=3$，$HX=2$，$HY=6$．若 $\triangle ABC$ 的面积的最简形式为 $m\sqrt n$（$m,n$ 均为正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除），则 $m+n=$_______．

答案    $058$．

解析    由于三角形垂心关于三边的对称点均在外接圆上，因此作 $X,H,Y$ 关于 $BC$ 的对称点 $X_1,H_1,Y_1$，则 $X_1Y_1$ 与圆 $\omega$ 切于点 $H_1$．设 $AH'$ 交 $BC$ 于点 $D$，根据圆幂定理，有

$$HA\cdot HH_1=HX\cdot HY\implies HH_1=4\implies DH=DH'=2.$$ 设直线 $XY,BC,X_1Y_1$ 交于点 $E$，则根据圆幂定理，有 $$EH^2=EX\cdot EY\implies EH^2=(EH-2)(EH-6)\implies EH=3\implies ED=\sqrt 5.$$

设 $BC$ 的中点为 $M$，则 $DC-DB=2DM$，且

$$EB\cdot EC=9\implies (ED-DB)(ED+DC)=9\implies DM=\dfrac{7}{\sqrt 5}\implies EM=\dfrac{12}{\sqrt 5},$$ 因此 $$EB\cdot EC=9\implies \left(\dfrac{12}{\sqrt 5}-\dfrac{BC}2\right)\left(\dfrac{12}{\sqrt 5}+\dfrac{BC}2\right)=9\implies \dfrac{BC}2=3\sqrt{\dfrac{11}5},$$ 于是 $\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac {BC}2\cdot AD=3\sqrt{55}$，进而 $m+n=58$．