每日一题[1968]分类讨论

已知函数 $f(x)=a(\ln x-x^2)-(a^2-2)x$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若存在实数 $x_1,x_2$，使 $f(x_1)\cdot f(x_2)<0$，求实数 $a$ 的范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导数 $$f'(x)=\dfrac{(-ax+1)(2x+a)}{x},$$

情形一   $a>0$．函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 1a\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递减．

情形二   $a=0$．函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形三   $a<0$．函数 $f(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac a2,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、题意即函数 $f(x)$ 的函数值有正有负，按 $a$ 讨论．

情形一    $a>0$．函数 $f(x)$ 在 $x=\dfrac 1a$ 处取得极大值，也为最大值 $$f\left(\dfrac 1a\right)=\dfrac 1a-a-a\ln a,$$ 设 $r(x)=\dfrac 1x-x-x\ln x$，则导函数 $$r'(x)=-2-\dfrac{1}{x^2}-\ln x<-2-\dfrac1{x^2}-\left(1-\dfrac 1x\right)=-\dfrac{3x^2-x+1}{x}<0,$$ 因此 $r(x)$ 单调递减，而 $r(1)=0$，于是当 $a\geqslant 1$ 时，$f(x)\leqslant 0$，不符合题意．当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 的最大值为正数；此时 $$f(x)=a\ln x-ax^2-a^2x+2x<a\ln x+2x,$$ 当 $0<x<\min\left\{1,{\rm e}^{-\frac{2}{a}}\right\}$ 时，有 $f(x)<0$，符合题意．

情形二    $a=0$．函数 $f(x)=2x$（$x>0$），不符合题意．

情形三    $a<0$．函数 $f(x)$ 在 $x=-\dfrac a2$ 处取得极小值，也为最小值 $$f\left(-\dfrac a2\right)=\dfrac a4\cdot \left(a^2+4\ln\left(-\dfrac a2\right)-4\right),$$ 令 $h(x)=x^2+4\ln\left(-\dfrac x2\right)-4$，则其导函数 $$h'(x)=2x+\dfrac 4x,$$ 当 $x<0$ 时，有 $h(x)$ 单调递减，又 $h(-2)=0$，于是当 $a\geqslant -2$ 时，$f(x)\geqslant 0$，不符合题意．当 $-2<a<0$ 时，$f(x)$ 的最小值为负数；此时 $$f(x)=a\ln x-ax^2-a^2x+2x>a\ln x-a^2x>a\ln x-4x,$$ 于是当 $0<x<\min\left\{1,{\rm e}^{\frac 4a}\right\}$ 时，有 $f(x)>0$，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 12,0\right)\cup(0,1)$．